在线性泛函分析中，紧算子（compact operator）又称致密算子是一类重要的连续线性算子，它的谱理论可以被很好地刻画，也是人们研究的最清楚的一类算子。我们为了讨论方便，直接在 Banach 空间中定义紧算子，有些文献会在一般的赋范线性空间中定义，那里的紧算子的性质和这里会有些不同。还有较旧的一些文献中将紧算子的定义冠名为全连续算子（completely continuous operator），在这里我们将二者区分开来。
目录
1 定义
2 基本性质
3 全连续
4 有穷秩算子的逼近
5 谱理论
6 Fredholm 理论
7 不变子空间
8 Cauchy 积分公式
9 参考资料
定义[]
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是 Banach 空间，如果线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
满足对任意
X
{\displaystyle X}
中的有界集
B
{\displaystyle B}
，它的象集
T
(
B
)
{\displaystyle T(B)}
是
Y
{\displaystyle Y}
中的紧集，我们就称
T
{\displaystyle T}
是紧算子。
这个定义等价于以下两款中任意一个：
X
{\displaystyle X}
中的单位球
B
(
0
,
1
)
=
{
x
∈
X
:
‖
x
‖
X
<
1
}
{\displaystyle B(0, 1) = \{ x \in X: \| x \|_X < 1 \}}
的象集的闭包
T
(
B
(
0
,
1
)
)
¯
{\displaystyle \overline{T(B(0, 1))}}
是紧集。
对
X
{\displaystyle X}
中的任意有界点列
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
，
{
T
(
x
n
)
}
{\displaystyle \{ T(x_n) \}}
有收敛子列。
我们把
X
→
Y
{\displaystyle X \to Y}
上的全体紧算子收集起来，记作
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
，特别地，当
X
=
Y
{\displaystyle X = Y}
时也记作
C
(
X
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X)}
。
紧算子虽然是很特殊的连续线性算子，但也不像我们想得十分简单，这是因为：无穷维空间中的紧算子没有有界逆。它的谱可能不是仅有特征值，但也会相对简单。
在有限维空间
X
{\displaystyle X}
中，由于紧集和有界闭集等价，这样其上的连续线性算子
T
:
X
→
X
{\displaystyle T: X \to X}
只要有一个下界
α
{\displaystyle \alpha}
：
‖
T
x
‖
⩾
α
‖
x
‖
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle \| T x \| \geqslant \alpha \| x \|, \forall x \in X}
即是紧的。
度量空间中紧等价于序列紧致，因此紧算子实际上说明：
X
{\displaystyle X}
中的有界序列的紧象在
Y
{\displaystyle Y}
中有强收敛子列。对比连续线性映射，它等价于是有界线性映射，实际上可以把有界集映为有界集，这就说明
X
{\displaystyle X}
中的有界序列的连续象在
Y
{\displaystyle Y}
中有弱收敛子列（当然前提假设
X
{\displaystyle X}
是自反的）。紧算子这一特性能够允许我们在变分上对一个具有强制性的有下界的积分泛函找一个极小化序列，然后这个序列的有界性可以蕴含它在另一个紧嵌入的空间中是强收敛的，对于连续线性算子或连续嵌入而言，这就只能得到弱收敛，因此紧性是十分重要的，很多变分问题的难点在于空间嵌入丧失了这样直接的紧嵌入，因此我们才会使用各种手段找回紧性（例如集中紧性原理）。
基本性质[]
可以证明
线性性：
∀
k
,
l
∈
C
,
A
,
B
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \forall k, l \in \C, A, B \in \mathcal{C}(X, Y)}
都有
k
A
+
l
B
∈
C
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle kA + lB \in \mathcal{C}(X, Y).}
闭性：
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
在
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
中闭。
因此，
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
是
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
的闭线性子空间。此外还有
遗传性：假设
X
0
{\displaystyle X_0}
是 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
的闭子空间，
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是紧算子，那么
T
{\displaystyle T}
限制在
X
0
{\displaystyle X_0}
上依然是紧算子。
可分性：若
T
:
A
→
Y
{\displaystyle T: A \to Y}
是紧算子，那么
T
{\displaystyle T}
的值域
R
(
T
)
=
T
(
X
)
{\displaystyle R(T) = T(X)}
是可分的。
复合：假设
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X, Y, Z}
是 Banach 空间，
A
:
X
→
Y
,
B
:
Y
→
Z
{\displaystyle A: X \to Y, B: Y \to Z}
是连续线性算子且其中一个是紧算子，那么
B
A
{\displaystyle BA}
是紧算子。
伴随：
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是紧算子当且仅当
T
∗
:
Y
∗
→
X
∗
{\displaystyle T^*: Y^* \to X^*}
是紧算子。
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是 Banach 空间，
T
∈
L
(
X
,
Y
)
,
K
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle T \in \mathcal{L}(X, Y), K \in \mathcal{C}(X, Y)}
，且
R
(
T
)
⊂
R
(
K
)
{\displaystyle R(T) \subset R(K)}
，那么
T
∈
C
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle T \in \mathcal{C}(X, Y).}
赋范代数：
C
(
X
,
X
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, X)}
是 Banach 代数，且当
X
{\displaystyle X}
是无穷维空间时该 Banach 代数不含幺元。
全连续[]
和紧算子密切相关的概念是全连续算子，它的定义是：设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是 Banach 空间，如果连续线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
满足：
对任意
X
{\displaystyle X}
中的弱收敛点列
x
n
⇀
x
{\displaystyle x_n \rightharpoonup x}
，它的象点列
T
x
n
{\displaystyle Tx_n}
强收敛到
T
x
.
{\displaystyle Tx.}
我们就称
T
{\displaystyle T}
是全连续的。全连续算子是紧算子，反之未必，但是在自反空间中二者等价。
有穷秩算子的逼近[]
紧算子是很抽象的一类算子，下面我们通过一种简单的算子——有穷秩算子在一定条件下来逼近紧算子。
我们称 Banach 空间上的连续线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是有穷秩算子（finite-rank operator），如果它的象集
R
(
T
)
{\displaystyle R(T)}
是有限维线性空间。
X
→
Y
{\displaystyle X \to Y}
的全体有穷秩算子的集合记作
F
(
X
,
Y
)
{\displaystyle F(X, Y)}
，他显然是
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{C}(X, Y)}
的线性子空间。
有穷秩算子可以用更简单的算子——秩1算子（象集为一维空间）逼近，这仅需注意到有限维空间可以直积分解即可。对于象集是无穷维空间的紧算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
，我们自然考虑的问题是是否可以用一列有穷秩算子逼近，在
X
{\displaystyle X}
是 Hilbert 空间中，这是成立的，在一般的 Banach 空间中未必，而对于具有 Schauder 基的可分 Banach 空间，这依然是对的。
谱理论[]
假设
A
{\displaystyle A}
是复 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
上的紧算子，
λ
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \lambda \in \C \setminus \{ 0 \}}
，如果
(
λ
I
−
A
)
X
=
X
{\displaystyle (\lambda I - A)X = X}
，那么
λ
∈
ρ
(
A
)
{\displaystyle \lambda \in \rho(A)}
且
(
λ
I
−
A
)
{\displaystyle (\lambda I- A)}
的值域是闭的，进一步，如果
λ
∉
σ
p
(
A
)
{\displaystyle \lambda \notin \sigma_p(A)}
，那么
λ
∈
ρ
(
A
∗
)
.
{\displaystyle \lambda \in \rho(A^*).}
Riesz-Schauder 理论表明：假设
A
{\displaystyle A}
是复 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
上的紧算子，那么
当
dim
X
=
+
∞
{\displaystyle \dim X = +\infty}
时，
0
∈
σ
(
A
)
.
{\displaystyle 0 \in \sigma(A).}
非零谱点是特征值。
当
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda\neq0}
是
A
{\displaystyle A}
的特征值时，
λ
{\displaystyle \lambda}
对应的特征子空间是有限维的。
不同特征值对应的特征向量彼此是线性无关的。
σ
(
A
)
{\displaystyle \sigma (A)}
至多可列，且可列时极限只可能是零。
紧算子的预解式
R
λ
(
A
)
{\displaystyle R_\lambda(A)}
可以在非零谱点的附近展为关于
λ
{\displaystyle \lambda}
的 Laurent 级数：
R
λ
(
A
)
=
∑
k
=
−
n
+
∞
C
k
(
λ
−
λ
0
)
k
.
{\displaystyle R_\lambda(A) = \sum_{k=-n}^{+\infty} C_k (\lambda - \lambda_0)^k.}
其中
C
k
,
k
=
−
n
,
−
n
+
1
,
⋯
{\displaystyle C_k, k = -n,-n+1,\cdots}
是连续线性算子。
Fredholm 理论[]
Fredholm 理论研究的问题是 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
上的紧算子
A
:
X
→
X
{\displaystyle A: X \to X}
相关的算子方程
T
x
=
y
.
{\displaystyle Tx = y.}
的可解性和解的结构，其中
T
=
I
−
A
.
{\displaystyle T = I - A.}
且
I
{\displaystyle I}
是恒等算子。
Riesz-Fredholm 定理指出：
σ
(
T
)
=
σ
(
T
∗
)
.
{\displaystyle \sigma(T) = \sigma(T^*).}
dim
ker
T
=
dim
ker
T
∗
<
+
∞
.
{\displaystyle \dim \ker T = \dim \ker T^* < +\infty.}
R
(
T
)
=
(
ker
T
∗
)
⊥
:=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
=
0
,
∀
f
∈
ker
T
∗
}
.
{\displaystyle R(T) = (\ker T^*)^\perp := \{ x \in X: f(x) = 0, \forall f \in \ker T^* \}.}
R
(
T
∗
)
=
⊥
ker
T
:=
{
f
∈
X
∗
:
f
(
x
)
=
0
,
∀
x
∈
ker
T
}
.
{\displaystyle R(T^*) = {}^\perp \ker T := \{ f \in X^*: f(x) = 0, \forall x \in \ker T \}.}
详见 Riesz-Fredholm 定理。
不变子空间[]
无穷维空间中连续线性算子的非平凡不变子空间的存在性是人们关注的一个问题，Neumann 首先研究了无穷维 Hilbert 空间上的紧算子具有非平凡的不变子空间，后来 N. Aronszajn 和 K. Smith 推广带了一般的复 Banach 空间中去。根据谱理论我们知道只要紧算子
A
{\displaystyle A}
具有非零的谱点（此时也就是非零特征值），那么这个谱点的特征子空间就是不变子空间了，因此我们仅需要对谱点仅为零的紧算子讨论即可。
（Lomonosov）设
X
{\displaystyle X}
是复 Banach 空间，
B
∈
L
(
X
)
{\displaystyle B \in L(X)}
且
B
≠
α
I
,
∀
α
∈
C
{\displaystyle B \ne \alpha I, \forall \alpha \in \C}
如果存在一个非零的紧算子
A
{\displaystyle A}
与
B
{\displaystyle B}
交换，那么
B
{\displaystyle B}
必有非平凡的超不变闭子空间。这个定理的推论是：无穷维复 Banach 空间上的非零紧算子必有非平凡的不变闭子空间。
Cauchy 积分公式[]
复分析中有著名的 Cauchy 积分公式，在紧算子理论中有类似的性质存在：假设
A
{\displaystyle A}
是复 Banach 空间
X
{\displaystyle X}
的紧算子，
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
是
A
{\displaystyle A}
的非零谱点，取
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
使得圆
|
λ
−
λ
0
|
⩽
ε
{\displaystyle |\lambda - \lambda_0| \leqslant \varepsilon}
中只有一个谱点
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
，那么
P
λ
0
:=
1
2
π
i
∫
|
λ
−
λ
0
|
=
ε
(
λ
I
−
A
)
−
1
d
λ
{\displaystyle P_{\lambda_0} := \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{|\lambda - \lambda_0| = \varepsilon} (\lambda I - A)^{-1} \mathrm{d}\lambda}
是紧算子，且是幂等的，即
P
λ
0
2
=
P
λ
0
.
{\displaystyle P_{\lambda_0}^2 = P_{\lambda_0}.}
此外还有结论
P
λ
0
X
{\displaystyle P_{\lambda_0} X}
是有限维的，
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
对应的特征向量都在
P
λ
0
X
{\displaystyle P_{\lambda_0} X}
中。
P
λ
0
A
=
A
P
λ
0
.
{\displaystyle P_{\lambda_0} A = A P_{\lambda_0}.}
P
λ
0
∗
X
∗
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^*}
是
A
∗
{\displaystyle A^*}
的不变子空间。
A
∗
{\displaystyle A^*}
对应于
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
的特征向量全在
P
λ
0
∗
X
∗
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^*}
中。
P
λ
0
∗
X
∗
=
(
P
λ
0
X
)
∗
.
{\displaystyle P_{\lambda_0}^* X^* = (P_{\lambda_0} X)^*.}
A
{\displaystyle A}
和
A
∗
{\displaystyle A^*}
对应于
λ
0
{\displaystyle \lambda_0}
的特征子空间的维数相等。
参考资料张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
线性算子理论（学科代码：1105710，GB/T 13745—2009）
基本理论
线性算子 ▪ 开映射定理 ▪ 闭图像定理 ▪ 共鸣定理 ▪ Banach-Steinhaus 定理 ▪ Gelfand 引理 ▪ Riesz 表示定理 ▪ Lax-Milgram 定理 ▪ Lax 等价定理 ▪ Hahn-Banach 定理 ▪ 凸集分离定理 ▪ 自伴算子 ▪ 正定算子 ▪ 酉算子
共轭理论和弱拓扑
共轭空间 ▪ 第二共轭空间 ▪ 共轭算子 ▪ 自反空间 ▪ 弱收敛 ▪ 弱拓扑 ▪ *弱拓扑 ▪ Mazur 定理 ▪ Banach-Alaoglu 定理 ▪ Eberlein-Schmulyan 定理 ▪ Goldstine 定理
凸性
一致凸空间和凸模 ▪ 一致光滑空间和光滑模 ▪ Milman-Pettis 定理 ▪ 严格凸范数 ▪ 最佳逼近
紧算子和谱理论
谱 ▪ 谱函数 ▪ 谱公式 ▪ Neumann 级数 ▪ 不变子空间 ▪ 紧连续线性算子 ▪ Riesz-Schauder 理论 ▪ Riesz-Fredholm 定理
算子积分
算子值函数 ▪ Pettis 积分 ▪ Bochner 积分 ▪ 向量值测度 ▪ Vitali-Hahn-Saks 定理
所在位置：数学（110）→ 泛函分析（11057）→ 线性算子理论（1105710）