概率论
0. 前言
本文主要旨在对概率论的基础概念与知识进行概要的总结，以便于使用到时可以参考。 概率论是数理统计的基础，也是很多机器学习模型的支撑，概率论在机器学习中占主要地位，因为概率论为机器学习算法的正确性提供了理论依据。
1. 概率论的基本概念
1.1 基本概念
随机实验（E）
（1）可以在相同的条件下重复地进行 （2）每次实验的可能结果不止一个，并且事先明确知道实验的所有可能结果 （3）每次试验将出现哪一个结果无法预知 例子：抛一枚硬币，观察正面，反面出现的情况
样本空间 (Ω)
随机试验所有可能的结果组成的集合
样本点
样本空间的元素，即每个可能的结果
随机事件
随机试验E的样本空间S的子集称为随机事件
基本事件
样本空间的单个元素，一个可能结果构成的集合
必然事件（全集）、不可能事件（空集）
事件的关系与事件的运算 （类似于集合运算）
包含关系、和（并）并事件、积（交）事件、差事件、互不相容（互斥）、逆事件（对立事件）
运算规律
1、交换律：
A
∪
B
=
B
∪
A
A∪B = B∪A
A∪B=B∪A
A
∩
B
=
B
∩
A
A ∩ B = B ∩ A
A∩B=B∩A 2、 结合律：
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
A∪ (B∪ C) = (A∪ B) ∪ C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A
∩
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
∩
C
A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 3、分配律：
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
A∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A ∪ C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
A ∩ (B∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A
∩
(
B
−
C
)
=
(
A
∩
B
)
−
(
A
∩
C
)
A ∩ (B - C) = (A ∩ B) - (A ∩ C)
A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C) 4、德摩根律（对偶律）：
A
∪
B
‾
=
A
‾
∩
B
‾
\overline{A ∪ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}
A∪B=A∩B
A
∩
B
‾
=
A
‾
∪
B
‾
\overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}
A∩B=A∪B 常用结论：
A
A
‾
=
Φ
A\overline{A} = Φ
AA=Φ；
A
∪
A
‾
=
Ω
A∪\overline{A} = Ω
A∪A=Ω；
A
∪
B
=
A
+
B
−
A
B
=
(
A
−
B
)
+
(
B
−
A
)
+
A
B
A ∪ B = A+ B − AB = (A − B) + (B − A) + AB
A∪B=A+B−AB=(A−B)+(B−A)+AB
1.2 频率与概率
频率
定义：在相同条件下，进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数，称为事件A发生的频数，比值：f = 频数／试验次数，称为事件A发生的频率。 基本性质： （1）0 <= f <= 1 ; （2）f(Ω) = 1; （3）两两互不相融事件的可列可加性。 稳定性：当试验重复次数很大时，频率趋于稳定，可以用来表征事件A发生可能性的大小。
概率
定义： 设E是随机试验，样本空间为Ω，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为A的概率。 性质： （1）非负性 0 =< P(A) <= 1; （2）正则性 P(Ω) = 1; （3）可列可加性 若有互不相容的事件：
A
1
,
A
2
,
A
3
,
.
.
.
A_1, A_2, A_3, ...
A1,A2,A3,...，
\quad\quad
则
P
(
∪
A
j
)
=
∑
P
(
A
j
)
P(∪A_j) = ∑ P(A_j)
P(∪Aj)=∑P(Aj)
1.3 等可能概型（古典概型）
设E是一个试验，满足：（1）只有有限多个样本点；（2）每个样本点发生的可能性相同（等可能性）。 典型例子：抛硬币 长期实践的发现：“概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生”（称之为实际推理原理）
排列 排列：从n个不同元素中，任取m(m ≤ n,m与n均为自然数)个元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数：
A
n
m
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
…
…
(
n
−
m
+
1
)
=
n
!
(
n
−
m
)
!
A_n^m = n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = {n!\over(n-m)!}
Anm=n(n−1)(n−2)……(n−m+1)=(n−m)!n! 组合 组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 组合数：
C
n
m
=
A
(
n
,
m
)
m
!
C_n^m = {A(n,m) \over m!}
Cnm=m!A(n,m) 公式：
C
n
m
=
C
n
n
−
m
C_n^m = C_n^{n-m}
Cnm=Cnn−m
C
n
m
+
C
n
m
−
1
=
C
n
+
1
m
C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m
Cnm+Cnm−1=Cn+1m
C
n
0
+
C
n
1
+
.
.
.
+
C
n
n
=
2
n
=
(
1
+
1
)
n
C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 2^n = (1 + 1)^n
Cn0+Cn1+...+Cnn=2n=(1+1)n
例1： 袋子中有a个黑球，b个白球，先一只只地摸出来，求：第k次摸到黑球的概率（1<= k <= a+b） 解法1：（排列） 思路： 样本空间为a+b个球的全排列，有利场合为第k个球确定为黑球，有a种可能，然后剩下a+b-1个球随机排列。 样本空间：(a+b)! 有利场合：a×(a+b-1)! 故：
P
=
a
×
(
a
+
b
−
1
)
!
(
a
+
b
)
!
=
a
a
+
b
P = {a×(a+b-1)! \over (a+b)!} = {a \over a+b}
P=(a+b)!a×(a+b−1)!=a+ba 解法2：（组合） 思路： 样本空间为从a+b个格子中选取a个放置黑球，其余一定放白球，故为
C
a
+
b
a
C^a_{a+b}
Ca+ba；有利场合为第k个确定放置黑球，从剩下a+b-1个格子中选取a-1个格子放置剩下的黑球，其余放白球，故为
C
a
+
b
−
1
a
−
1
C^{a-1}_{a+b-1}
Ca+b−1a−1。 样本空间：
C
a
+
b
a
C^a_{a+b}
Ca+ba 有利场合：
C
a
+
b
−
1
a
−
1
C^{a-1}_{a+b-1}
Ca+b−1a−1 故：
P
=
C
a
+
b
−
1
a
−
1
C
a
+
b
a
=
a
a
+
b
P = {C^{a-1}_{a+b-1} \over C^a_{a+b}} = {a \over a+b}
P=Ca+baCa+b−1a−1=a+ba PS：这个例子就是抽签模型
例2： 设有n个球，每个都可以以同样的概率
1
n
1\over n
n1落到N个格子的每一个格子中（N>=n），求： （1）某指定的n个格子中各有一个球的概率P(A)； （2）任何n个格子中各有一个球的概率P(B)； 解： 样本空间：
N
n
N^n
Nn
P
(
A
)
=
n
!
N
n
P(A) = {n! \over N^n}
P(A)=Nnn!
P
(
A
)
=
C
N
n
⋅
n
!
N
n
=
N
!
N
n
⋅
(
N
−
n
)
!
P(A) = {C^n_N \; · \; n! \over N^n} = {N! \over N^n \; · \; (N-n)! }
P(A)=NnCNn⋅n!=Nn⋅(N−n)!N! PS：这个模型可用于计算具有相同生日的人的概率
1.4 条件概率
（1）条件概率： 设有两个事件A和B，
P
(
A
)
≠
0
P(A)\neq0
P(A)̸=0，在已知A发生的条件下B发生的概率记为：
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P(B|A) = {P(AB) \over P(A)}
P(B∣A)=P(A)P(AB)；满足概率的三个基本性质。 乘法公式：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P(AB) = P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B∣A) （2）全概率公式： 设
B
1
,
.
.
.
,
B
i
,
.
.
.
,
B
n
B1, ... ,Bi, ... , Bn
B1,...,Bi,...,Bn是
Ω
\Omega
Ω的一个划分（完备事件组），
B
1
⋃
B
2
⋃
.
.
.
⋃
B
n
=
Ω
,
B
i
⋂
B
j
=
∅
,
i
≠
j
,
P
(
B
i
)
>
0
B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n = \Omega, B_i \bigcap B_j = \emptyset, i \neq j, P(B_i) > 0
B1⋃B2⋃...⋃Bn=Ω,Bi⋂Bj=∅,i̸=j,P(Bi)>0, 其中 i=1, 2, 3, …，得到： 全概率公式：
P
(
A
)
=
P
(
A
Ω
)
=
P
(
A
⋂
(
B
1
⋃
B
2
⋃
.
.
.
⋃
B
n
)
)
=
P
(
A
B
1
⋃
A
B
2
.
.
.
⋃
A
B
n
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
B
i
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P(A) = P(A\Omega) = P(A\bigcap(B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n)) = P(AB_1 \bigcup AB_2... \bigcup AB_n) = \sum_{i=1}^n {P(AB_i)} = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)
P(A)=P(AΩ)=P(A⋂(B1⋃B2⋃...⋃Bn))=P(AB1⋃AB2...⋃ABn)=∑i=1nP(ABi)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi) PS：把一个要求的事件(
Ω
\Omega
Ω)分解成若干个互不相容的事件(
B
i
B_i
Bi)。 （3）贝叶斯公式： 贝叶斯公式：
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
B
i
A
)
P
(
A
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
(
P
(
A
∣
B
1
)
+
.
.
.
+
P
(
A
∣
B
i
)
+
.
.
.
+
P
(
A
∣
B
n
)
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
∑
i
=
1
n
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P(B_i|A) = {P(B_iA)\over P(A)} = {P(B_i)P(A|B_i) \over (P(A|B_1) + ... + P(A|B_i) + ...+ P(A|B_n))} = {P(B_i)P(A|B_i) \over \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)}
P(Bi∣A)=P(A)P(BiA)=(P(A∣B1)+...+P(A∣Bi)+...+P(A∣Bn))P(Bi)P(A∣Bi)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi) 其中：
P
(
A
)
>
0
,
P
(
B
i
)
>
0
P(A) > 0, P(B_i) > 0
P(A)>0,P(Bi)>0 PS：
P
(
B
i
)
P(B_i)
P(Bi)是先验概率，在实际应用中是经验的总结、信息的归纳；
\;\quad
P
(
B
i
∣
A
)
P(B_i|A)
P(Bi∣A)是后验概率，表示在事件(A)发生后对各种原因
B
i
B_i
Bi发生可能性的分析；
例： 用某检验法诊断肺癌，A：被检验者患有肺癌；B：检验诊断为阳性（患病）； 已知：
P
(
B
∣
A
)
=
0.95
，
P
(
B
‾
∣
A
‾
)
=
0.90
，
P
(
A
)
=
0.0004
P(B|A)=0.95，P(\overline{B}|\overline{A})=0.90，P(A) = 0.0004
P(B∣A)=0.95，P(B∣A)=0.90，P(A)=0.0004 求：P(A|B) 解：
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
+
P
(
A
‾
)
P
(
B
∣
A
‾
)
=
0.0004
×
0.95
0.0004
×
0.95
+
0.9996
×
0.1
=
0.0038
P(A|B) = {P(A)P(B|A) \over P(A)P(B|A) + P(\overline A)P(B|\overline A)} = {0.0004×0.95 \over 0.0004×0.95 + 0.9996×0.1} = 0.0038
P(A∣B)=P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A)P(A)P(B∣A)=0.0004×0.95+0.9996×0.10.0004×0.95=0.0038
1.5 独立性
独立性是概率论和数理统计中很重要的概念，很多情况需要满足独立性才适用，一般根据实践来确定事件之间是否相互独立。 定义：设A、B是随机试验E的两个事件，若 P(AB) = P(A)P(B)， 则称AB事件相互独立，即A和B两个事件的发生互不影响。 定理1：若P(A) > 0 ，且 P(B|A) = P(B) 等价于 AB相互独立 定理2：若A、B相互独立，则其对立事件也相互独立 可以很自然的推广到n个事件的情况
例： 甲、乙两种产品独立生产，甲产品的次品率0.05，乙产品的次品率0.04，现从甲乙产品中各区一件： （1）两件都是次品的概率P1； （2）至少有一件是次品的概率P2； （3）恰好有一件是次品的概率P3。 解： 设A事件为抽取甲为次品，B事件为抽取乙为次品 由于A、B相互独立，故：A，
A
‾
\overline{A}
A；
A
‾
\overline{A}
A，B；
A
‾
\overline{A}
A，
B
‾
\overline{B}
B；相互独立 （1）
P
1
=
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
=
0.05
×
0.04
=
0.002
P1=P(AB)=P(A)·P(B)=0.05×0.04=0.002
P1=P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.05×0.04=0.002 （2）
P
2
=
P
(
A
⋃
B
)
=
1
−
P
(
A
⋃
B
‾
)
=
1
−
P
(
A
‾
B
‾
)
=
1
−
P
(
A
‾
)
P
(
B
‾
)
=
1
−
0.95
×
0.96
=
0.088
P2=P(A \bigcup B)=1-P(\overline{A\bigcup B})=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0.95×0.96=0.088
P2=P(A⋃B)=1−P(A⋃B)=1−P(AB)=1−P(A)P(B)=1−0.95×0.96=0.088 （3）
P
3
=
P
(
A
B
‾
⋃
A
‾
B
)
=
P
(
A
B
‾
)
+
P
(
A
‾
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
‾
)
+
P
(
A
‾
)
P
(
B
)
=
0.86
P3=P(A\overline{B}\bigcup \overline{A}B)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)P( \overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.86
P3=P(AB⋃AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.86 PS：独立性和互不相容性 （1）加法公式对应互不相容性； （2）乘法公式对应独立性；
1.6 蒙特霍尔三门问题
游戏规则：
参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，另两扇门后则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
概率求解（python实现）：
import random
def MontyHall(Dselect, Dchange):
Dcar = random.randint(1,3)
if Dselect == Dcar and Dchange == 0:
return 1
elif Dselect == Dcar and Dchange == 1:
return 0
elif Dselect != Dcar and Dchange == 0:
return 0
else:
return 1
# 不确定是否改变选择
def test1(N):
win = 0
for i in range(N):
Dselect = random.randint(1,3)
Dchange = random.randint(0,1)
win = win + MontyHall(Dselect, Dchange)
print(float(win)/float(N))
# 确定不改变选择
def test2(N):
win = 0
for i in range(N):
Dselect = random.randint(1,3)
Dchange = 0
win = win + MontyHall(Dselect, Dchange)
print(float(win)/float(N))
# 确定改变选择
def test3(N):
win = 0
for i in range(N):
Dselect = random.randint(1,3)
Dchange = 1
win = win + MontyHall(Dselect, Dchange)
print(float(win)/float(N))
N = 10000
print("不确定是否改变选择概率：")
test1(N)
print("确定不改变选择概率：")
test2(N)
print("确定改变选择概率：")
test3(N)
运行结果：
不确定是否改变选择概率：
0.4939
确定不改变选择概率：
0.3307
确定改变选择概率：
0.6618
1.7 蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。使用随机数（通常是伪随机数）来解决计算问题的方法。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学等领域应用广泛。
# 计算$\pi$的蒙特卡洛方法
import random
n=1000000
k=0
for i in range(n):
x=random. uniform(-1,1)
y=random. uniform(-1,1)
if x**2+y**2<1:
k=k+1
print(4* float(k)/float(n))
运行结果：
3.142032